# 單極點、GBW 與尺寸練習

對應：027–0210；027–028 共用同一電路。

## 輸出電容主導：027–028

令 $R=r_o\parallel R_L$，只保留輸出 $C_L$。由 KCL

$$
\left(\frac1R+sC_L\right)v_o=-g_mv_i
\quad\Rightarrow\quad
a_v(s)=\frac{-g_mR}{1+sRC_L}.
$$

因此

$$ A_0=g_mR,\quad \omega_p=\frac1{RC_L},\quad BW=\frac1{2\pi RC_L}. $$

幅度與相對低頻的相位：

$$
|a_v(j\omega)|=\frac{A_0}{\sqrt{1+(\omega/\omega_p)^2}},
\qquad \Delta\phi=-\tan^{-1}(\omega/\omega_p).
$$

在 $\omega_p$ 幅度下降 $20\log_{10}(1/\sqrt2)=-3.0103$ dB，相對相位為 $-45^\circ$。高頻幅度正比 $1/\omega$，所以每十倍頻下降 20 dB。

由定義相乘可精確消去 $R$：

$$ GBW\equiv A_0BW=\frac{g_m}{2\pi C_L}. $$

但單位增益交越頻率另由 $|a_v|=1$ 解得

$$ f_u=BW\sqrt{A_0^2-1}=GBW\sqrt{1-A_0^{-2}}\qquad(A_0>1). $$

所以圖上把 $f_u$ 標成 GBW，還用了 $A_0\gg1$。圖中的相位是**相對相位**；共源級的固定反相不可遺忘。

## 029：依教材定義逐步重算

規格 $GBW=100$ MHz、$C_L=3$ pF，故

$$
g_m=2\pi(100\times10^6)(3\times10^{-12})
=1.88496\ {\rm mS}.
$$

選擇而非推導出 $V_{OV}=0.2$ V，則

$$
\frac{g_m}{I_D}=\frac2{V_{OV}}=10\ {\rm V}^{-1},\quad
I_D=\frac{g_mV_{OV}}2=188.50\ \mu{\rm A}.
$$

本書 $K'_n=50\ \mu{\rm A/V^2}$，沒有額外 $1/2$：

$$
\frac WL=\frac{I_D}{K'_n V_{OV}^2}=94.248.
$$

再**選擇** $L=4L_{\min}=2\ \mu$m，可得 $W=188.50\ \mu$m。
若按教材先把 $g_m$ 取整為 2 mS，就得到 $I_D=0.2$ mA、$W/L=100$、$W=200\ \mu$m。這些是取整差異，不是模型不一致。

$$
FOM=\frac{GBW\,C_L}{I_D}
=1591.55\ {\rm MHz\cdot pF/mA}
\simeq1500\quad\text{（採 0.2 mA 的取整電流）}.
$$

## 0210：只有輸入電容

訊號源經 $R_S$ 驅動 gate，$C_{GS}$ 接地，輸出沒有電容：

$$
\frac{v_g-v_i}{R_S}+sC_{GS}v_g=0,\qquad v_o=-g_mr_o v_g.
$$

$$
a_v=\frac{-g_mr_o}{1+sR_SC_{GS}},\quad
BW=\frac1{2\pi R_SC_{GS}},\quad
GBW=\frac{g_m}{2\pi C_{GS}}\frac{r_o}{R_S}.
$$

在此電容模型中定義 $f_T=g_m/(2\pi C_{GS})$，便是教材 $f_Tr_o/R_S$。
若再採 $C_{GS}\simeq\alpha C_{ox}WL$（長通道常用 $\alpha\simeq2/3$），則

$$
GBW\simeq\frac{V_E}{\pi\alpha R_S C_{ox}W V_{OV}}.
$$

所以圖上的 $1/(WC_{ox}V_{OV})$ 是省略固定係數的**比例關係**，不是量綱完整的等式。

## 必要近似與失效條件

| 步驟 | 原式 → 簡式 | 必要條件 | 失效時 |
|---|---|---|---|
| 單極點 | 完整寄生網路 → 一個 $C_L$ 或 $C_{GS}$ | 其他極點高於關注頻带 | 不能再從 $A_0BW$ 預測實際交越 |
| 交越 | $\sqrt{A_0^2-1}\to A_0$ | $A_0\gg1$ | $A_0$ 接近 1 時誤差很大 |
| 電容尺度 | $C_{GS}\to\alpha C_{ox}WL$ | 忽略 overlap、fringing，強反轉 | 短通道、小尺寸 |
| 設計電壓 | 指定 $V_{OV}=0.2$ V | 教材的設計選擇，須另查製程 | 不能把這個選擇當規格唯一解 |

## 方法與驗算

不用 SFG：兩個互不回授的一階關係直接相乘最清楚。數值檢查包括未取整及取整的 029 解，以及 GBW 與實際 $f_u$ 的差異。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
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| [027](../../extraction/index.html#SANSEN-027) | 53 | 54 | 53 |
| [028](../../extraction/index.html#SANSEN-028) | 53 | 54 | 53 |
| [029](../../extraction/index.html#SANSEN-029) | 54 | 55 | 54 |
| [0210](../../extraction/index.html#SANSEN-0210) | 54 | 55 | 54 |