# Miller 電容：完整傳輸、回授與右半平面零點

對應：0211、0212、0213。

## 從實際連線出發

source 接地；$R_S$ 串在訊號源與 gate 之間；$C_F$ 跨接 gate 與 drain；輸出只有 $r_o$，不另加 $C_L$。令 $G_S=1/R_S$。

兩個 KCL：

$$
(G_S+sC_F)v_g-sC_Fv_o=G_Sv_i,
$$
$$
(g_m-sC_F)v_g+(g_o+sC_F)v_o=0.
$$

第二式中的 $-sC_Fv_g$ 是從輸入向輸出的**電容前饋**，不能在 Miller 輸入等效後遺失。

## 解出完整模型

二式消元：

$$
a_v(s)=
\frac{r_o(sC_F-g_m)}
{1+sC_F[R_S+r_o+g_mR_Sr_o]}.
$$

定義 $A_0=g_mr_o$：

$$
a_v=-A_0\frac{1-s/\omega_z}{1+s/\omega_p},\quad
\omega_z=\frac{g_m}{C_F},\quad
\omega_p=\frac1{C_F[R_S+r_o+A_0R_S]}.
$$

零點在 $s=+g_m/C_F$，位於右半平面。它在幅度上增加 $+20$ dB/decade，卻使相位**再延遲** $90^\circ$。
相對低頻相位為

$$ \Delta\phi=-\tan^{-1}(\omega/\omega_p)-\tan^{-1}(\omega/\omega_z). $$

所以一個電容可以帶來「一個極點加一個 RHP 零點」的 $-180^\circ$ 相對延遲，並不代表有兩個獨立儲能狀態。

高頻極限直接取最高階係數：

$$
a_v(\infty)=\frac{r_o}{R_S+r_o+g_mR_Sr_o}
=\frac1{1+g_mR_S+R_S/r_o}.
$$

這個值是正的；低頻反相、高頻前饋同相。教材的正值增益圖沒有呈現固定的低頻負號。

## Miller 輸入等效與教材近似的每一步

對已知 $a_{og}=v_o/v_g$，電容輸入電流

$$ i_F=sC_F(v_g-v_o)=sC_F(1-a_{og})v_g. $$

低頻 $a_{og}\simeq-A_0$，所以 $C_{FM}\simeq(1+A_0)C_F$。
這是輸入埠等效，不是把跨接電容刪掉後的完整二埠等效。

| 步驟 | 原式 → 簡式 | 條件與理由 | 失效例 |
|---|---|---|---|
| M1 | $1+A_0\to A_0$ | $A_0\gg1$，忽略相對 $1/A_0$ 的 1 | 小增益 |
| M2 | $R_S+r_o+A_0R_S\to A_0R_S$ | $A_0\gg1$ **且** $g_mR_S\gg1$；分別壓低 $R_S$、$r_o$ 項 | 理想低阻訊號源 $R_S\to0$ |
| M3 | $1-s/\omega_z\to1$ | $\omega\ll\omega_z$ | 靠近零點時相位、增益均不對 |
| M4 | $1+g_mR_S+R_S/r_o\to1+g_mR_S$ | $R_S/r_o\ll1+g_mR_S$ | 很小 $r_o$ 且小跨導 |

經 M2、M3 才得到

$$ BW\simeq\frac1{2\pi R_SA_0C_F},\qquad
GBW\simeq\frac1{2\pi R_SC_F}. $$

若要進一步把此 GBW 當交越頻率，還須大增益及交越遠低於零點。未作 M2 時，$A_0 f_p$ 仍含器件參數。

## 最簡且可解釋的 SFG

只用三個節點：外部 $v_i$、實際 gate $v_g$、輸出 $v_o$。

$$
v_g=a v_i+bv_o,\quad
v_o=(c_g+c_f)v_g,
$$
$$
a=\frac1{1+sR_SC_F},\quad b=\frac{sR_SC_F}{1+sR_SC_F},\quad
c_g=\frac{-g_m}{g_o+sC_F},\quad c_f=\frac{sC_F}{g_o+sC_F}.
$$

![Miller SFG](assets/miller-sfg.svg)

[查看 SFG 的 DOT 連線文字](assets/miller-sfg.dot)

保留兩條平行的 $v_g\to v_o$ 支路，以分開反相跨導與同相電容前饋。消去 $v_g$：

$$ \frac{v_o}{v_i}=\frac{a(c_g+c_f)}{1-b(c_g+c_f)}. $$

分子兩支路在正實數 $s=g_m/C_F$ 相消，直接解釋 RHP 零點；分母就是圖上的回授迴路。SFG 與直接 KCL 的結果由符號程式檢查為相同。

## 數值核對

![完整式與近似比較](assets/miller-comparison.svg)

圖上同時畫精確模型、Miller 單極點近似與相對相位；頻帶逼近零點後，單極點近似的相位偏差會顯現。

例圖參數：$g_m=2$ mS、$r_o=50$ kΩ、$R_S=10$ kΩ、$C_F=0.5$ pF。垂直虛線為 $f_z=g_m/(2\pi C_F)$；相位以低頻反相值為基準。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
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| [0211](../../extraction/index.html#SANSEN-0211) | 55 | 56 | 55 |
| [0212](../../extraction/index.html#SANSEN-0212) | 55 | 56 | 55 |
| [0213](../../extraction/index.html#SANSEN-0213) | 56 | 57 | 56 |