# BJT 高頻輸出阻抗：有限 beta 與擴散電容

對應：0244。

## 先指定足夠完整的模型

collector 接 AC 地；base 經 $R_S$ 接地（量測輸出阻抗時輸入置零），忽略 base spreading resistance 時：

$$
g_\pi=1/r_\pi=g_m/\beta,\quad
Y_\pi=g_\pi+sC_\pi,\quad
C_\pi=C_{jE}+g_m\tau_F.
$$

$C_\mu$ 是 base–collector 電容，$C_{CE}$ 是 emitter 對 AC 地電容。若要保留 $r_b$，將外部 $R_S$ 換成 $R_S+r_b$。

由 base 與 emitter KCL：

$$
\begin{bmatrix}
G_S+Y_\pi+sC_\mu&-Y_\pi\\
-(g_m+Y_\pi)&g_m+Y_\pi+g_o+sC_{CE}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}v_b\\v_e\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}0\\i_t\end{bmatrix}.
$$

因此

$$
Z_e(s)=\frac{N(s)}{D(s)},\quad
N=G_S+Y_\pi+sC_\mu,
$$

$$
D=N(g_m+Y_\pi+g_o+sC_{CE})-Y_\pi(g_m+Y_\pi).
$$

這是本模型內完整式；用其二次多項式的判別式求複數極點，用 $D(s_z)$ 檢查相消。

## 零點與教材對照

$$
s_z=-\frac{G_S+g_\pi}{C_\pi+C_\mu},\qquad
f_z=\frac1{2\pi(R_S\parallel r_\pi)(C_\pi+C_\mu)}.
$$

這一式直接重現 0244 的零點。$\beta\to\infty$ 才能把 $R_S\parallel r_\pi$ 改成 $R_S$。

在 $g_o=0$ 下，常見的非退化相消條件來自
$g_m+Y_\pi(s_z)=0$：

$$
g_m(C_\pi+C_\mu)+g_\pi C_\mu-G_SC_\pi=0.
$$

代入 $C_\pi=C_{jE}+g_m\tau_F$、$g_\pi=g_m/\beta$：

$$
\tau_Fg_m^2+
g_m(C_{jE}+C_\mu+C_\mu/\beta-G_S\tau_F)
-G_SC_{jE}=0.
$$

令括號係數為 $b$，可用正根

$$
g_{m,\rm cancel}=\frac{-b+\sqrt{b^2+4\tau_FG_SC_{jE}}}{2\tau_F}.
$$

若擴散電容可忽略、$\beta\gg1$，才化為

$$ g_{m,\rm cancel}\simeq\frac{C_{jE}}{R_S(C_{jE}+C_\mu)}. $$

## 哪些原圖公式不能直接當精確值

0244 的 $g_{mu}\simeq(C_{jE}+C_{CE})/[R_S(C_{jE}+C_\mu)]$ 在
$C_{CE}\ll C_{jE}$、$g_m\tau_F\ll C_{jE}$、$\beta\gg1$ 時接近上式；任意保留 $C_{CE}$ 時並非完整模型的相消解。

原圖的 $g_{mr}=(C_\pi+C_{CE})/[R_S(C_\pi+C_\mu)]$ 也不能直接視為精確複數極點區域中心。若凍結所有電容且取 $\beta\to\infty,g_o=0$，上一組推導的中心應為

$$ g_{mr,\rm frozen}=\frac{C_\pi+C_{CE}}{R_SC_\mu}. $$

這與原式分母不同。若讓 $C_\pi$ 隨 $g_m$ 變動，則需指定 $\tau_F,C_{jE},\beta$ 再解判別式，不能只替换字母。**此原圖中心式列為模型／記號待釐清，未標成已證明。**

## 感性阻抗

再忽略 $g_\pi,g_o,C_\mu,C_{CE}$，可得

$$ Z_e=\frac{1+sR_SC_\pi}{g_m+sC_\pi}. $$

在 $\omega\ll\omega_T=g_m/C_\pi$ 展開：

$$
Z_e\simeq\frac1{g_m}
+s\frac{C_\pi}{g_m}\left(R_S-\frac1{g_m}\right).
$$

若 $g_mR_S\gg1$，等效電感 $L\simeq R_S/\omega_T$，重現原圖。

## 方法與限制

不另畫 SFG：它是上一組模型增加 $g_\pi$ 的版本，矩陣最容易核對。不能用「BJT 類似 MOS」而省掉 finite beta、擴散電容及原圖未交代的跨導掃描條件。符號檢查涵蓋矩陣、零點與相消條件，未確認的 $g_{mr}$ 式明列於差異表。


## 來源對照

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| [0244](../../extraction/index.html#SANSEN-0244) | 72 | 73 | 71, 72 |