# Cascode 中的 Miller 效應與訊號源阻抗

對應：0256。原圖的 $C_M$ 跨接輸入 gate 與中間節點；不是接地電容。

## 完整三節點矩陣

節點為 gate $v_g$、中間 $v_x$、輸出 $v_o$。令
$G_S=1/R_S$、$Q_2=g_{m2}+g_{o2}$、$D_x=g_{o1}+Q_2$。理想輸出電流源負載，只保留 $C_M,C_L$：

$$
\begin{bmatrix}
G_S+sC_M&-sC_M&0\\
g_{m1}-sC_M&D_x+sC_M&-g_{o2}\\
0&-Q_2&g_{o2}+sC_L
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}v_g\\v_x\\v_o\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}G_Sv_i\\0\\0\end{bmatrix}.
$$

直接求解：

$$
a_v=\frac{Q_2(sC_M-g_{m1})}{d_0+d_1s+d_2s^2},
$$

$$ d_0=g_{o1}g_{o2}, $$

$$ d_1=C_LD_x+C_Mg_{o2}[1+R_S(g_{o1}+g_{m1})], $$

$$ d_2=C_MC_L[1+R_S(D_x+g_{m1})]. $$

雖然有三個節點，只有兩個独立電容狀態，分母仍為二階。零點為 $+g_{m1}/C_M$；圖中沒有畫出不表示它不存在。

## 為何 cascode 仍可能有 Miller 放大

低頻、理想輸出電流源負載使

$$ v_x/v_g=-g_{m1}r_{o1}. $$

因此輸入所見 $C_M$ 仍可能被 $1+g_{m1}r_{o1}$ 放大。不能把「cascode」當成 Miller 效應永遠為零的保證。

在 $g_{m2}\gg g_{o1},g_{o2}$、$g_{m1}\gg g_{o1}$ 且 $g_{m1}R_S\gg1$ 時，
$d_1$ 主要兩項為

$$ C_Lg_{m2}\quad\text{與}\quad R_SC_Mg_{o2}g_{m1}. $$

令兩者相等得到

$$ R_{St}\simeq r_{o2}\frac{C_L}{C_M}\frac{g_{m2}}{g_{m1}}. $$

所以原圖的「No Miller if $R_S<R_{St}$」應解讀為**Miller 輸入時間常數不主導**，不是電容的回授與前饋作用消失。

## 兩側主極點

若根分離 $d_1^2\gg4d_0d_2$：

$$ \omega_d\simeq d_0/d_1,\qquad \omega_{nd}\simeq d_1/d_2. $$

輸出主導時：

$$ \omega_d\simeq1/(g_{m2}r_{o1}r_{o2}C_L). $$

Miller 主導時：

$$ \omega_d\simeq1/(g_{m1}r_{o1}R_SC_M). $$

次極點須由 $d_1/d_2$ 求。教材的 $1/(R_SC_M)$、$1/(r_{o2}C_L)$ 是比例尺度線；在 $g_{m1}\sim g_{m2}$ 時可能有接近 2 的係數差，不能把圖的折線位置視為精確根。

## 近似與方法

- $d_1$ 省項的条件分別為 $g_{m2}\gg g_{o1}+g_{o2}$、$R_Sg_{m1}\gg1+R_Sg_{o1}$。
- 轉折附近兩項都要保留；若根不分離，直接求二次根。
- 若關注頻率接近 $g_{m1}/C_M$，必須保留 RHP 零點。
- 不另畫 SFG：回授／前饋與 03 組同源，此處用實際三節點矩陣保留 cascode 的輸出耦合即可。

符號程式檢查三階矩陣行列式化成上述二階多項式，並驗證 DC 與 $C_M\to0$ 極限。


## 來源對照

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