# Telescopic 與 folded cascode

對應：0258–0259。

## 0258：上下兩個 cascode 阻抗並聯

下方 NMOS 堆疊的阻抗

$$ R_N=r_{o1}+r_{o2}+(g_{m2}+g_{mb2})r_{o1}r_{o2}. $$

上方 PMOS 堆疊同理為 $R_P$（使用相應器件參數及正值跨導）。輸出看到

$$ R_{\rm out}=R_N\parallel R_P. $$

只有 $R_N=R_P$ 才有 $R_{\rm out}=R_N/2$；再忽略 body effect 與獨立 $r_o$ 項，才到教材

$$ R_{\rm out}\simeq\tfrac12g_{m2}r_{o1}r_{o2}. $$

输入電流傳遞跨導 $G_{\rm eff}$ 由 13 組求出，通常近似 $g_{m1}$：

$$
a_v\simeq-\frac{g_{m1}R_{\rm out}}{1+sR_{\rm out}C_L},\quad
BW=\frac1{2\pi R_{\rm out}C_L},\quad
GBW\simeq\frac{g_{m1}}{2\pi C_L}.
$$

理想 long-channel 飽和要求的輸出範圍：

$$
V_{OV1}+V_{OV2}\lesssim V_O
\lesssim V_{DD}-V_{OV3}-V_{OV4}.
$$

每管 $V_{OV}\simeq0.2$ V 時，可用範圍約 $V_{DD}-0.8$ V。這是給定偏壓的 headroom 估計，不是跨製程常數。

## 0259：折疊電流路徑

M1 汲極接節點 $x$；上方電流源提供 $I_{B1}$；PMOS M2 從 $x$ 把電流送往輸出，輸出另由 $I_{B2}$ 吸走偏壓。

$$ I_{D1}+I_{D2}=I_{B1},\quad I_{D2}=I_{B2}
\Rightarrow I_{D1}=I_{B1}-I_{B2}. $$

若選 $I_{B1}=2I_{B2}$，兩管電流相同；$I_{B1}/2$ 是設計選擇，不是拓撲必然。

有限偏壓源下，$x$ 點原始阻抗

$$ R_x=r_{o1}\parallel r_{B1}. $$

從 M2 drain 看入的 cascode 支路

$$ R_{\rm branch}=r_{o2}+[1+(g_{m2}+g_{mb2})r_{o2}]R_x. $$

輸出還要與下方電流源阻抗並聯：

$$ R_{\rm out}=R_{\rm branch}\parallel r_{B2}. $$

理想 $r_{B1},r_{B2}\to\infty$、$g_{mb2}=0$、高 intrinsic gain 時，才得到原圖
$R_{\rm out}\simeq g_{m2}r_{o1}r_{o2}$。

輸入變大會讓 M1 多吸電流，使供到輸出的 PMOS 電流變少，故本圖電壓增益仍反相。把输入電流有效傳遞率近似為 1 後：

$$
a_v\simeq-\frac{g_{m1}R_{\rm out}}{1+sR_{\rm out}C_L},\qquad
GBW\simeq\frac{g_{m1}}{2\pi C_L}.
$$

## 比較條件

- 同輸入管電流時，等電流分配的 folded 支路要求供電電流約兩倍；不是任意 sizing 下都精確两倍。
- 原書說 folded 與 telescopic 擺幅相近，還依賴偏壓源用幾顆管實作，不能由兩個理想電流源圖唯一決定。
- 忽略 body effect、有限偏壓源阻抗、內部電容，均需分別驗證。
- 不用 SFG：逐支路計阻抗及電流守恆已清楚呈現折疊的意義。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
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| [0258](../../extraction/index.html#SANSEN-0258) | 79 | 80 | 79 |
| [0259](../../extraction/index.html#SANSEN-0259) | 80 | 81 | 79, 80 |