# Cascode 與兩級 cascade：為何 GBW 的電容不同

對應：0260–0261。

## 沒有補償的兩級串接

每級都是反相共源級，忽略級間 DC／AC 負載而保留各自對地電容：

$$
a_v(s)=\frac{g_{m1}r_{o1}g_{m2}r_{o2}}
{(1+sr_{o1}C_1)(1+sr_{o2}C_L)}.
$$

DC 增益大小等於兩個 intrinsic gain 的乘積，與 cascode 的近似大小相同；但有兩個高阻抗節點、兩個極點，且兩次反相使輸出相位不同。

## 0261：跨第二級加入 $C_c$

第一級輸出為 $v_x$，第二級輸出為 $v_o$。$C_c$ 跨接兩者：

$$
[g_{o1}+s(C_1+C_c)]v_x-sC_cv_o=-g_{m1}v_i,
$$

$$
(g_{m2}-sC_c)v_x+[g_{o2}+s(C_L+C_c)]v_o=0.
$$

由行列式：

$$
a_v(s)=\frac{g_{m1}(g_{m2}-sC_c)}{d_0+d_1s+d_2s^2},
$$

$$ d_0=g_{o1}g_{o2}, $$

$$ d_1=g_{o1}(C_L+C_c)+g_{o2}(C_1+C_c)+g_{m2}C_c, $$

$$ d_2=C_1C_L+C_1C_c+C_cC_L. $$

若 $g_{m2}C_c$ 主導 $d_1$，且根分離：

$$
\omega_d\simeq\frac{g_{o1}g_{o2}}{g_{m2}C_c},\quad
A_0=g_{m1}r_{o1}g_{m2}r_{o2},
$$

$$ GBW=A_0\omega_d/(2\pi)\simeq\frac{g_{m1}}{2\pi C_c}. $$

這一步清楚顯示：cascade 的增益由兩個高阻抗節點累積，Miller 補償則把主極點拉低，最後留下 $C_c$。Cascode 的輸出單極點結果則留下 $C_L$。

## 不能省掉的第二極點與零點

$$
\omega_{nd}\simeq\frac{g_{m2}C_c}{C_1C_L+C_1C_c+C_cC_L},
\qquad s_z=+\frac{g_{m2}}{C_c}.
$$

若 $C_1\ll C_c$、$C_1\ll C_L$，可進一步得 $\omega_{nd}\simeq g_{m2}/C_L$。
但要把 $g_{m1}/(2\pi C_c)$ 當作實際交越，還须交越低於這個次極點及 RHP 零點。

## 近似順序

| 原式 → 簡式 | 成立條件 | 失效時 |
|---|---|---|
| 每級 DC 增益乘積 | 後級 gate 不負載前級，兩管工作點有效 | 偏壓不相容、器件進 triode |
| $d_1\to g_{m2}C_c$ | 其他兩項相對小 | 負載太大或第二級跨導不足 |
| $\omega_d=d_0/d_1$ | $d_1^2\gg4d_0d_2$ | 用二次根 |
| $\omega_{nd}\to g_{m2}/C_L$ | $C_cC_L$ 主導 $d_2$ | $C_1$ 不小 |
| GBW 近似交越 | 其他極點及零點遠離交越 | 補償電容本身不保證足夠相位裕度 |

不用額外 SFG：Miller 前饋已由 03 組解釋，此處矩陣把兩個高阻抗節點保留得更直接。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
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| [0260](../../extraction/index.html#SANSEN-0260) | 80 | 81 | 80 |
| [0261](../../extraction/index.html#SANSEN-0261) | 81 | 82 | 80, 81 |