單管增益與 MOS／BJT 比較

對應：024、025、026。

電路與完整方程

NMOS source 接地，gate 由理想小訊號源驅動，drain 接理想偏壓電流源。先保留有限負載 $R_L$ ；其導納 $G_L=1/R_L$ 。

drain KCL：

(g_o+G_L)v_o+g_m v_i=0.

因此有號增益及增益大小為

a_v=-\frac{g_m}{g_o+G_L}=-g_m(r_o\parallel R_L),\qquad A_0=g_m(r_o\parallel R_L).

理想电流源負載 $G_L=0$ 時，模型內精確得到 $A_0=g_mr_o$ 。

本書平方律與 Early 電壓模型：

I_D=K'\frac WL V_{OV}^{2},\quad g_m=\left.\frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}\right|_Q =2K'\frac WL V_{OV}=\frac{2I_D}{V_{OV}}, \quad r_o\simeq\frac{V_A}{I_D}.

代入而不是直接引用結論：

A_0\simeq \underbrace{\frac{2I_D}{V_{OV}}}_{g_m} \;\underbrace{\frac{V_A}{I_D}}_{r_o} =\frac{2V_A}{V_{OV}}=\frac{2V_E L}{V_{OV}}.

等價的乘法式為

A_0\simeq (2I_D/V_{OV})(V_A/I_D).

電流消掉不表示任何改變電流的操作都不影響增益：固定 $W/L$ 時，改變 $I_D$ 也會改變 $V_{OV}$ 。只有在比較時固定 $V_{OV}$ 、以尺寸調整電流，才有此形式的電流獨立性。

BJT 由 $I_C=I_S e^{V_{BE}/U_T}$ 得

g_m=I_C/U_T,\qquad r_o\simeq V_A/I_C,\qquad A_0\simeq V_A/U_T,\quad U_T=kT/q.

教材數值：MOS $V_A=10$ V、 $V_{OV}=0.2$ V 得 100；BJT $V_A=26$ V、 $U_T=26$ mV 得 1000。忽略級間負載時， $100^3=1000^2=10^6$ ，解釋 026 的三級與兩級比較。

步驟	原式 → 簡式	條件／理由	何時失效
負載忽略	$r_o\parallel R_L\to r_o$	$R_L\gg r_o$ ；相對於簡式的差異為 $r_o/(R_L+r_o)$	電阻負載或有限電流源阻抗
輸出電阻	$g_o=\partial I_D/\partial V_{DS}\to I_D/V_A$	線性的 channel-length modulation 近似	$V_A$ 隨偏壓顯著改變
尺寸結論	$2V_A/V_{OV}\to2V_E L/V_{OV}$	$V_A\propto L$ ，且 $V_E$ 在比較範圍近似固定	短通道效應
級聯乘積	$a_1a_2\cdots$	後級不負載前級、各級線性	有限輸入阻抗、寄生電容

025 的「小 $V_{OV}$ 、大 $L$ 」是上述模型的方向性結論，不能延伸成無限制降低 $V_{OV}$ ；A2 會先失效，且頻寬、面積與雜訊限制尚未加入。

不用 SFG：一條 KCL 已直接顯示跨導與輸出電阻的乘積。符號檢查驗證 KCL 解與含 $R_L$ 的增益式相同。

投影片	PDF 頁	書本頁	講解所在 PDF 頁
024	51	52	51
025	52	53	51, 52
026	52	53	52

本推導組的代表模型已完成 Spectre 驗證；覆蓋範圍以所列 netlist 為準，未逐一搭建所有投影片電路。

線性 AC 1 · MOS 電路 0 · 極零 0 · 暫態 0：所列檢查全部通過。

案例：intrinsic