高频源极跟随器：二阶模型、峰化与真正的极零相消

对应：0241–0243。

A. 选取的 SFG 节点及选择理由

漏极接交流地，衬底接源极；输入串联 Rs；保留 Cg = CGS、Cd = CGD、CL、CDS、有限 ro 和偏置支路输出电导 GB。iG 从栅极流向源极；im 注入源极；iB、iL、iDS、io 从源极流向地；测试电流 it 从外部注入输出，电压激励分析时令 it = 0。CL 与 CDS、go 与 GB 分开建模，不在边系数中预先合并。

所有量为工作点附近的小信号，电容采用零初始条件的拉普拉斯关系。按局部器件关系选择因果方向，不预先求整体传递函数，也不消元为最少节点图。

节点	类型	选择理由
$v_i$ （`vi`）	电压 / V	独立输入电压。
$i_t$ （`it`）	电流 / A	独立输出测试电流；可设为零，保留电流输入端口。
$v_g$ （`vg`）	电压 / V	实际栅极电压。
$v_{gs}$ （`vgs`）	电压 / V	跨导源与 Cg 共用的端电压。
$i_m$ （`im`）	电流 / A	MOS 跨导源注入输出的电流。
$i_G$ （`iG`）	电流 / A	Cg 从栅极到源极的电流。
$i_D$ （`iD`）	电流 / A	Cd 从栅极到交流地的电流。
$i_R$ （`iR`）	电流 / A	输入电阻电流。
$v_R$ （`vR`）	电压 / V	输入电阻压降。
$i_B$ （`iB`）	电流 / A	偏置支路有限电导引起的输出电流。
$i_L$ （`iL`）	电流 / A	负载电容 CL 电流。
$i_{DS}$ （`iDS`）	电流 / A	器件 CDS 电流。
$i_o$ （`io`）	电流 / A	输出电阻 ro 电流。
$v_o$ （`vo`）	电压 / V	源极输出电压。

B. 独立约束

每行是一个独立局部约束，整理为 $y=\sum_k a_kx_k$ 。右侧的每一项生成一条边；一行分成多条边不等于重复使用约束。

约束	物理来源	定向方程
F1	栅源端电压定义（KVL）	$v_{gs} = v_g - v_o$
F2	MOS 跨导源的本构关系	$i_m = g_m v_{gs}$
F3	Cg 的本构关系	$i_G = s C_{GS} v_{gs}$
F4	Cd 的本构关系	$i_D = s C_{GD} v_g$
F5	栅极 KCL	$i_R = i_G + i_D$
F6	Rs 的本构关系	$v_R = R_S i_R$
F7	输入串联支路 KVL	$v_g = v_i - v_R$
F8	偏置支路 GB 的本构关系	$i_B = G_B v_o$
F9	CL 的本构关系	$i_L = s C_L v_o$
F10	CDS 的本构关系	$i_{DS} = s C_{DS} v_o$
F11	源极输出节点 KCL	$i_o = i_m + i_G + i_t - i_B - i_L - i_{DS}$
F12	ro 的本构关系	$v_o = r_o i_o$

电阻只使用 $v=Ri$ 这一方向，不再同时添加 $i=v/R$ ；同一电容的支路电流可以出现在两端节点的 KCL 中，但其本构关系只建一次。本图保留有限输出电阻以采用“电流 → 电压”的电阻方向。若另取输出电导严格为零的理想模型，应重新分配约束方向，不能直接在图上使用无穷大的电阻。

C. SFG edge list

E01: vg --(1)--> vgs    [F1]
E02: vo --(-1)--> vgs    [F1]
E03: vgs --(gm)--> im    [F2]
E04: vgs --(s*Cg)--> iG    [F3]
E05: vg --(s*Cd)--> iD    [F4]
E06: iG --(1)--> iR    [F5]
E07: iD --(1)--> iR    [F5]
E08: iR --(Rs)--> vR    [F6]
E09: vi --(1)--> vg    [F7]
E10: vR --(-1)--> vg    [F7]
E11: vo --(GB)--> iB    [F8]
E12: vo --(s*CL)--> iL    [F9]
E13: vo --(s*CDS)--> iDS    [F10]
E14: im --(1)--> io    [F11]
E15: iG --(1)--> io    [F11]
E16: it --(1)--> io    [F11]
E17: iB --(-1)--> io    [F11]
E18: iL --(-1)--> io    [F11]
E19: iDS --(-1)--> io    [F11]
E20: io --(ro)--> vo    [F12]

D. ASCII SFG

以下按目标节点分组绘制，重复出现的变量名指同一个节点；所有连接均列出。V 为电压节点，A 为电流节点。

vg --(1)---+
           |
vo --(-1)--+--> vgs [V]  (F1)

vgs --(gm)--> im [A]  (F2)

vgs --(s*Cg)--> iG [A]  (F3)

vg --(s*Cd)--> iD [A]  (F4)

iG --(1)--+
          |
iD --(1)--+--> iR [A]  (F5)

iR --(Rs)--> vR [V]  (F6)

vi --(1)---+
           |
vR --(-1)--+--> vg [V]  (F7)

vo --(GB)--> iB [A]  (F8)

vo --(s*CL)--> iL [A]  (F9)

vo --(s*CDS)--> iDS [A]  (F10)

im --(1)----+
            |
iG --(1)----+
            |
it --(1)----+
            |
iB --(-1)---+
            |
iL --(-1)---+
            |
iDS --(-1)--+--> io [A]  (F11)

io --(ro)--> vo [V]  (F12)

高频源极跟随器的 Physical / Causal SFG

图中椭圆为电压节点，圆角矩形为电流节点，双边框为独立输入。每条边显示系数和约束编号；按图中箭头读取方向。

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E. 主要正向通路与反馈环路

跨导正向通路：vi → vg → vgs → im → io → vo；并行的 Cg 前馈通路为 vgs → iG → io → vo。
主要局部负反馈：vo → vgs → im → io → vo，输出在 vgs 的端电压定义中取负号。
栅极电流反馈：vg → vgs → iG → iR → vR → vg；Cd 也通过 iD → iR 影响输入压降。输出的 GB、CL、CDS 各自形成 vo → 支路电流 → io → vo 的负号返回路径。
it → io → vo 明确保留输出测试电流的物理端口，测试时将 vi 设为零即可；无需先求整体传递函数或另造反向器件约束。

F. 逐边对应独立约束检查

边	起点 → 终点	系数	唯一来源约束
E01	$v_g\to v_{gs}$	$1$	F1：栅源端电压定义（KVL）
E02	$v_o\to v_{gs}$	$-1$	F1：栅源端电压定义（KVL）
E03	$v_{gs}\to i_m$	$g_m$	F2：MOS 跨导源的本构关系
E04	$v_{gs}\to i_G$	$s C_{GS}$	F3：Cg 的本构关系
E05	$v_g\to i_D$	$s C_{GD}$	F4：Cd 的本构关系
E06	$i_G\to i_R$	$1$	F5：栅极 KCL
E07	$i_D\to i_R$	$1$	F5：栅极 KCL
E08	$i_R\to v_R$	$R_S$	F6：Rs 的本构关系
E09	$v_i\to v_g$	$1$	F7：输入串联支路 KVL
E10	$v_R\to v_g$	$-1$	F7：输入串联支路 KVL
E11	$v_o\to i_B$	$G_B$	F8：偏置支路 GB 的本构关系
E12	$v_o\to i_L$	$s C_L$	F9：CL 的本构关系
E13	$v_o\to i_{DS}$	$s C_{DS}$	F10：CDS 的本构关系
E14	$i_m\to i_o$	$1$	F11：源极输出节点 KCL
E15	$i_G\to i_o$	$1$	F11：源极输出节点 KCL
E16	$i_t\to i_o$	$1$	F11：源极输出节点 KCL
E17	$i_B\to i_o$	$-1$	F11：源极输出节点 KCL
E18	$i_L\to i_o$	$-1$	F11：源极输出节点 KCL
E19	$i_{DS}\to i_o$	$-1$	F11：源极输出节点 KCL
E20	$i_o\to v_o$	$r_o$	F12：ro 的本构关系

共 14 个节点、12 个独立约束、20 条边。每个非输入节点只有一个定义方程；每条边属于唯一约束。边系数仅含单个器件的本构参数（包括理想受控源的常数增益）、电容导纳或带符号的 1。

本节输出止于 Physical / Causal SFG，不进一步化为 algebraic SFG。

原有公式推导与必要近似（展开查看）

电路与符号

漏极为 AC 地，衬底跟源极相连； $R_S$ 串在信号源和栅极间。定义

C_g=C_{GS},\quad C_d=C_{GD},\quad C_0=C_L+C_{DS},\quad g=g_o+G_B,\quad G_S=1/R_S.

$C_g$ 跨栅极–源极； $C_d$ 因漏极接地，成为栅极对地电容。输出是源极，不能套用共源级米勒增益。

完整二节点方程

[G_S+s(C_d+C_g)]v_g-sC_gv_o=G_Sv_i,

-(g_m+sC_g)v_g+[g_m+g+s(C_g+C_0)]v_o=0.

令

C_2=C_0C_d+C_0C_g+C_dC_g,

D(s)=g_m+g+s[C_g+C_0+R_Sg_mC_d+R_Sg(C_d+C_g)] +s^2R_SC_2.

则

H(s)=\frac{v_o}{v_i}=\frac{g_m+sC_g}{D(s)},\qquad Z_o(s)=\left.\frac{v_o}{i_{\rm test}}\right|_{v_i=0} =\frac{1+sR_S(C_d+C_g)}{D(s)}.

这两个传输共用同一分母，但分子不同，所以零点不同。

0241：化成教材形式

令 $g=0$ ，除以 $g_m$ ：

H=\frac{1+sC_g/g_m}{1+sB+s^2R_SC_2/g_m},\quad B=R_SC_d+\frac{C_g+C_0}{g_m}.

教材另外保留 $R_SC_g/(g_mr_o)$ ，却省去常数 $1/(g_mr_o)$ 与 $R_SC_d/(g_mr_o)$ 。这是选择性的一阶修正；若需要有限 $r_o$ 的一致模型，应使用上面的完整 $D(s)$ 。

电压零点为 $s_{zv}=-g_m/C_g$ （左半平面）。若令分母 $a_0+a_1s+a_2s^2$ ，则

s_{p1,p2}=\frac{-a_1\pm\sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_2}.

复极点条件是 $a_1^2<4a_0a_2$ 。复极点不必然造成可见的增益峰值：零点及阻尼还会影响幅度，需要实际计算 $|H(j\omega)|$ 。

0242：复极点区域的精确边界

以下令 $g=0$ ，并在扫描 $g_m$ 时先把电容视为固定。设

B_c=C_g+C_0,\quad r=\frac{C_0C_g}{C_d(C_0+C_g)},\quad k=1+r,\quad g_{mr}=\frac{B_c}{R_SC_d},\quad x=\frac{g_m}{g_{mr}}.

将判别式除以 $B_c^2$ ：

(x+1)^2-4kx<0.

因此真正的边界为

x_\pm=(\sqrt{k}\pm\sqrt{k-1})^2,\qquad g_{m,\pm}=g_{mr}x_\pm,\qquad x_+x_-=1.

教材的 $g_{mr}$ 正是两个边界的几何中心。但若把「宽度」定义成上下界比，

W_g=\frac{g_{m,+}}{g_{m,-}} =(\sqrt{k}+\sqrt{k-1})^4,

就不是幻灯片列的 $\Delta g_{mr}=C_{DGt}/C_{DG}=r$ 。原图的 $C_{DGt}=C_0C_g/(C_0+C_g)$ 可视为一个电容比参数，但不能不加定义地当作精确区域宽度，再套 $g_{mr}/\sqrt{\Delta g_{mr}}$ 求下界。

将零点代入分母：不能只看渐近线交叉

电压零点 $s=-g_m/C_g$ 代入：

D(-g_m/C_g)= \frac{C_0g_m}{C_g^2} [R_Sg_m(C_d+C_g)-C_g].

除去退化情况，精确相消条件是

g_{m,\rm cancel}=\frac{C_g}{R_S(C_d+C_g)} \simeq\frac1{R_S}\quad(C_d\ll C_g).

这说明 0242 的 $1/R_S$ 是近似而非一般精确相消点。

输出阻抗零点是

s_{zo}=-\frac1{R_S(C_d+C_g)} \simeq-\frac1{R_SC_g}.

把它代入同一分母得到相同的精确相消条件。在该点：

Z_o(s)=\frac1{g_m+s[C_0+C_gC_d/(C_g+C_d)]},

H(s)=\frac{g_m}{g_m+s[C_0+C_gC_d/(C_g+C_d)]}.

0243 的 $g_{mu}\simeq(C_g+C_{DS})/[R_S(C_g+C_d)]$ 是把近似极点与零点位置对齐的估计；它只有在 $C_{DS}\ll C_g$ 等条件下接近上面的精确相消值。保留任意 $C_{DS}$ 时，代入完整分母不会得到零。

高 $g_m$ 时，一个极点趋向 $-1/(R_SC_d)$ ，因此可得到图中的 $f_{d,\rm high\,gm}\simeq1/(2\pi R_SC_d)$ 。输出阻抗先升后降的区段可呈感性。

近似与验算

原式 → 简式	条件	失效情况
$g\to0$	不只 $g\ll g_m$ ，还须 $R_Sg(C_d+C_g)$ 对 $a_1$ 足够小	大 $R_S$
$C_d+C_g\to C_g$	$C_d\ll C_g$	补偿电容加大后
$g_{m,\rm cancel}\to1/R_S$	同上	0242 的补偿恰好会改变此比值
极点渐近交点 → 精确相消	必须另外验 $D(s_z)=0$	复极点或电容比不小
固定电容扫 $g_m$	局部模型比较	真实偏置变动也改变电容

峰化与精确相消比较

图中标出完整模型相消值与教材估计值。符号程序验证两个零点代入结果及相消后的一阶式。

例图固定 $R_S=10$ kΩ、 $C_g=1$ pF、 $C_d=0.2$ pF、 $C_{DS}=3$ pF、 $C_L=0$ 、 $g=0$ 。完整相消值为 $83.33$ µS，0243 估式为 $333.33$ µS，复极点区域的几何中心为 $2$ mS。这是固定电容的模型比较，不是扫描真实器件偏置。

来源对照

幻灯片	PDF 页	书本页	讲解所在 PDF 页
0241	70	71	70
0242	71	72	70, 71
0243	71	72	71

Spectre 仿真结果

本推导组的代表模型已完成 Spectre 验证；覆盖范围以所列网表为准，未逐一搭建所有幻灯片电路。

线性 AC 6 · MOS 电路 1 · 极零 2 · 瞬态 0：所列检查全部通过。

案例：follower_cancel、follower_cancel_z、follower_book、follower_book_z、follower_center、follower_center_z、mos_follower、follower_cancel、follower_center

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