極零雙重項與 settling：必須保留殘值和初始條件

對應：0265。

沒有 doublet 的單位增益閉迴路

若主迴路可近似開迴路積分器 $A(s)=\omega_u/s$ ，單位負回授：

H(s)=\frac{A}{1+A}=\frac{\omega_u}{s+\omega_u}.

單位階躍的輸出與誤差：

y(t)=1-e^{-\omega_ut},\quad e(t)=e^{-\omega_ut}.

\tau_u=\frac1{\omega_u}=\frac1{2\pi GBW},\qquad t_\epsilon=\tau_u\ln(1/\epsilon).

$\epsilon=0.001$ 時 $t_{0.1\%}=6.90776\tau_u$ ，直接重現正文。

指定帶 doublet 的開迴路模型

為了使結論可重現，而不是只從 Bode 圖猜時間式，明定

A(s)=\frac{\omega_u}{s}\frac{s+z}{s+p},\quad p,z>0.

高頻仍有相同的 $\omega_u/s$ 漸近線。閉迴路：

H(s)=\frac{\omega_u(s+z)} {s^2+(p+\omega_u)s+\omega_uz}.

若二次分母有兩個實根，寫成 $(s+\lambda_f)(s+\lambda_s)$ ，其中

\lambda_{f,s}=\frac{p+\omega_u\pm \sqrt{(p+\omega_u)^2-4\omega_uz}}2.

階躍誤差的 Laplace 式：

E(s)=\frac{1-H(s)}s =\frac{s+p}{(s+\lambda_f)(s+\lambda_s)}.

部分分式係數：

A_s=\frac{p-\lambda_s}{\lambda_f-\lambda_s},\qquad A_f=\frac{\lambda_f-p}{\lambda_f-\lambda_s},\qquad A_f+A_s=1.

所以模型內精確的 step response 是

y(t)=1-A_fe^{-\lambda_ft}-A_se^{-\lambda_st}.

這在 $t=0$ 精確為 0，且 $t\to\infty$ 為 1。

如何得到教材的小殘值慢尾巴

若 $p,z\ll\omega_u$ ，並且 $p,z$ 接近：

\lambda_f\simeq\omega_u+p-z,\quad \lambda_s\simeq z,\quad A_s\simeq\frac{p-z}{\omega_u}.

定義有號 $\Delta f=(p-z)/(2\pi)$ ，可得

y(t)\simeq 1-(1-\delta)e^{-t/\tau_u}-\delta e^{-t/\tau_{pz}}, \quad \delta=\frac{\Delta f}{GBW},\quad \tau_{pz}\simeq1/z.

教材把快項係數再近似成 1，成為 $1-e^{-t/\tau_u}-\delta e^{-t/\tau_{pz}}$ 。這一式在 $t=0$ 會給 $-\delta$ ，所以只能作小殘值／晚時間近似，不能當完整階躍精確解。

尾巴符號不是固定的。 在此明定模型中， $p>z$ 時 $A_s>0$ ，輸出從下方慢慢靠近終值； $p<z$ 時可從上方靠近。原圖若只標雙重項「寬度」而不定義 $p,z$ 的先後，不足以唯一決定時間曲線。

Settling 為何變慢

在快項衰減後，若 $|A_s|>\epsilon$ ：

t_\epsilon\simeq\frac1{\lambda_s} \ln\frac{|A_s|}{\epsilon}.

更保守的充分條件是分別要求

|A_f|e^{-\lambda_ft}\le\epsilon/2,\quad |A_s|e^{-\lambda_st}\le\epsilon/2.

如果 $|A_s|\le\epsilon$ ，則慢尾巴從一開始就小於誤差容限，不必機械地宣稱所有 doublet 都會毀掉 settling。

必要近似與數值圖

步驟	條件	失效情況
開迴路 $\omega_u/s$	穿越附近由主極點控制	多極點、前饋
兩個實指數	判別式非負且極點穩定	複數根須改用阻尼振盪
$\lambda_s\simeq z$	$p,z\ll\omega_u$	doublet 靠近交越
$A_s\simeq(p-z)/\omega_u$	小間距、低頻 doublet	大間距
只保留慢尾巴	快項已小且 $\|A_s\|>\epsilon$	短時間與寬容限

Settling 誤差比較

不用 SFG：本節要解釋的是極點殘值與時間響應，部分分式比增添圖節點直接。程式檢查初值、終值、部分分式以及 0.1% settling。

例圖參數： $\omega_u/(2\pi)=1$ MHz、 $p/(2\pi)=12$ kHz、 $z/(2\pi)=2$ kHz。精確慢速殘值約 $0.00994$ ；此例達到 $0.1\%$ 誤差約需 $184.7$ µs，沒有 doublet 的單極點模型約需 $1.10$ µs。數值依上述模型計算。

來源對照

投影片	PDF 頁	書本頁	講解所在 PDF 頁
0265	83	84	83

Spectre 仿真結果

本推導組的代表模型已完成 Spectre 驗證；覆蓋範圍以所列 netlist 為準，未逐一搭建所有投影片電路。

線性 AC 0 · MOS 電路 0 · 極零 0 · 暫態 3：所列檢查全部通過。

案例：baseline、tail、overshoot

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