极零双重项与建立过程：必须保留留数和初始条件

对应：0265。

没有极零对的单位增益闭环

若主环路可近似开环积分器 $A(s)=\omega_u/s$ ，单位负反馈：

H(s)=\frac{A}{1+A}=\frac{\omega_u}{s+\omega_u}.

单位阶跃的输出与误差：

y(t)=1-e^{-\omega_ut},\quad e(t)=e^{-\omega_ut}.

\tau_u=\frac1{\omega_u}=\frac1{2\pi GBW},\qquad t_\epsilon=\tau_u\ln(1/\epsilon).

$\epsilon=0.001$ 时 $t_{0.1\%}=6.90776\tau_u$ ，直接重现正文。

为了使结论可重现，而不是只从波特图猜时间式，明定

A(s)=\frac{\omega_u}{s}\frac{s+z}{s+p},\quad p,z>0.

高频仍有相同的 $\omega_u/s$ 渐近线。闭环：

H(s)=\frac{\omega_u(s+z)} {s^2+(p+\omega_u)s+\omega_uz}.

若二次分母有两个实根，写成 $(s+\lambda_f)(s+\lambda_s)$ ，其中

\lambda_{f,s}=\frac{p+\omega_u\pm \sqrt{(p+\omega_u)^2-4\omega_uz}}2.

阶跃误差的 Laplace 式：

E(s)=\frac{1-H(s)}s =\frac{s+p}{(s+\lambda_f)(s+\lambda_s)}.

部分分式系数：

A_s=\frac{p-\lambda_s}{\lambda_f-\lambda_s},\qquad A_f=\frac{\lambda_f-p}{\lambda_f-\lambda_s},\qquad A_f+A_s=1.

所以模型内精确的阶跃响应是

y(t)=1-A_fe^{-\lambda_ft}-A_se^{-\lambda_st}.

这在 $t=0$ 精确为 0，且 $t\to\infty$ 为 1。

若 $p,z\ll\omega_u$ ，并且 $p,z$ 接近：

\lambda_f\simeq\omega_u+p-z,\quad \lambda_s\simeq z,\quad A_s\simeq\frac{p-z}{\omega_u}.

定义有号 $\Delta f=(p-z)/(2\pi)$ ，可得

y(t)\simeq 1-(1-\delta)e^{-t/\tau_u}-\delta e^{-t/\tau_{pz}}, \quad \delta=\frac{\Delta f}{GBW},\quad \tau_{pz}\simeq1/z.

教材把快项系数再近似成 1，成为 $1-e^{-t/\tau_u}-\delta e^{-t/\tau_{pz}}$ 。这一式在 $t=0$ 会给 $-\delta$ ，所以只能作小留数／晚时间近似，不能当完整阶跃精确解。

尾巴符号不是固定的。 在此明定模型中， $p>z$ 时 $A_s>0$ ，输出从下方慢慢靠近终值； $p<z$ 时可从上方靠近。原图若只标双重项「宽度」而不定义 $p,z$ 的先后，不足以唯一决定时间曲线。

在快项衰减后，若 $|A_s|>\epsilon$ ：

t_\epsilon\simeq\frac1{\lambda_s} \ln\frac{|A_s|}{\epsilon}.

更保守的充分条件是分别要求

|A_f|e^{-\lambda_ft}\le\epsilon/2,\quad |A_s|e^{-\lambda_st}\le\epsilon/2.

如果 $|A_s|\le\epsilon$ ，则慢尾巴从一开始就小于误差容限，不必机械地宣称所有极零对都会毁掉建立过程。

建立过程误差比较

不用 SFG：本节要解释的是极点留数与时间响应，部分分式比增添图节点直接。程序检查初值、终值、部分分式以及 0.1% 建立过程。

例图参数： $\omega_u/(2\pi)=1$ MHz、 $p/(2\pi)=12$ kHz、 $z/(2\pi)=2$ kHz。精确慢速留数约 $0.00994$ ；此例达到 $0.1\%$ 误差约需 $184.7$ µs，没有极零对的单极点模型约需 $1.10$ µs。数值依上述模型计算。

幻灯片	PDF 页	书本页	讲解所在 PDF 页
0265	83	84	83

本推导组的代表模型已完成 Spectre 验证；覆盖范围以所列网表为准，未逐一搭建所有幻灯片电路。

线性 AC 0 · MOS 电路 0 · 极零 0 · 瞬态 3：所列检查全部通过。

案例：baseline、tail、overshoot