单极点、GBW 与尺寸练习

对应：027–0210；027–028 共用同一电路。

输出电容主导：027–028

令 $R=r_o\parallel R_L$ ，只保留输出 $C_L$ 。由 KCL

\left(\frac1R+sC_L\right)v_o=-g_mv_i \quad\Rightarrow\quad a_v(s)=\frac{-g_mR}{1+sRC_L}.

因此

A_0=g_mR,\quad \omega_p=\frac1{RC_L},\quad BW=\frac1{2\pi RC_L}.

幅度与相对低频的相位：

|a_v(j\omega)|=\frac{A_0}{\sqrt{1+(\omega/\omega_p)^2}}, \qquad \Delta\phi=-\tan^{-1}(\omega/\omega_p).

在 $\omega_p$ 幅度下降 $20\log_{10}(1/\sqrt2)=-3.0103$ dB，相对相位为 $-45^\circ$ 。高频幅度正比 $1/\omega$ ，所以每十倍频下降 20 dB。

由定义相乘可精确消去 $R$ ：

GBW\equiv A_0BW=\frac{g_m}{2\pi C_L}.

但单位增益交越频率另由 $|a_v|=1$ 解得

f_u=BW\sqrt{A_0^2-1}=GBW\sqrt{1-A_0^{-2}}\qquad(A_0>1).

所以图上把 $f_u$ 标成 GBW，还用了 $A_0\gg1$ 。图中的相位是相对相位；共源级的固定反相不可遗忘。

规格 $GBW=100$ MHz、 $C_L=3$ pF，故

g_m=2\pi(100\times10^6)(3\times10^{-12}) =1.88496\ {\rm mS}.

选择而非推导出 $V_{OV}=0.2$ V，则

\frac{g_m}{I_D}=\frac2{V_{OV}}=10\ {\rm V}^{-1},\quad I_D=\frac{g_mV_{OV}}2=188.50\ \mu{\rm A}.

本书 $K'_n=50\ \mu{\rm A/V^2}$ ，没有额外 $1/2$ ：

\frac WL=\frac{I_D}{K'_n V_{OV}^2}=94.248.

再选择 $L=4L_{\min}=2\ \mu$ m，可得 $W=188.50\ \mu$ m。若按教材先把 $g_m$ 取整为 2 mS，就得到 $I_D=0.2$ mA、 $W/L=100$ 、 $W=200\ \mu$ m。这些是取整差异，不是模型不一致。

FOM=\frac{GBW\,C_L}{I_D} =1591.55\ {\rm MHz\cdot pF/mA} \simeq1500\quad\text{（采 0.2 mA 的取整电流）}.

信号源经 $R_S$ 驱动栅极， $C_{GS}$ 接地，输出没有电容：

\frac{v_g-v_i}{R_S}+sC_{GS}v_g=0,\qquad v_o=-g_mr_o v_g.

a_v=\frac{-g_mr_o}{1+sR_SC_{GS}},\quad BW=\frac1{2\pi R_SC_{GS}},\quad GBW=\frac{g_m}{2\pi C_{GS}}\frac{r_o}{R_S}.

在此电容模型中定义 $f_T=g_m/(2\pi C_{GS})$ ，便是教材 $f_Tr_o/R_S$ 。若再采 $C_{GS}\simeq\alpha C_{ox}WL$ （长沟道常用 $\alpha\simeq2/3$ ），则

GBW\simeq\frac{V_E}{\pi\alpha R_S C_{ox}W V_{OV}}.

所以图上的 $1/(WC_{ox}V_{OV})$ 是省略固定系数的比例关系，不是量纲完整的等式。

步骤	原式 → 简式	必要条件	失效时
单极点	完整寄生网络 → 一个 $C_L$ 或 $C_{GS}$	其他极点高于关注频带	不能再从 $A_0BW$ 预测实际交越
交越	$\sqrt{A_0^2-1}\to A_0$	$A_0\gg1$	$A_0$ 接近 1 时误差很大
电容尺度	$C_{GS}\to\alpha C_{ox}WL$	忽略交叠电容、边缘电容，强反转	短沟道、小尺寸
设计电压	指定 $V_{OV}=0.2$ V	教材的设计选择，须另查工艺	不能把这个选择当规格唯一解

不用 SFG：两个互不反馈的一阶关系直接相乘最清楚。数值检查包括未取整及取整的 029 解，以及 GBW 与实际 $f_u$ 的差异。

幻灯片	PDF 页	书本页	讲解所在 PDF 页
027	53	54	53
028	53	54	53
029	54	55	54
0210	54	55	54

本推导组的代表模型已完成 Spectre 验证；覆盖范围以所列网表为准，未逐一搭建所有幻灯片电路。

线性 AC 1 · MOS 电路 1 · 极零 0 · 瞬态 0：所列检查全部通过。

案例：loaded_cs、mos_cs