單極點、GBW 與尺寸練習

對應：027–0210；027–028 共用同一電路。

輸出電容主導：027–028

令 $R=r_o\parallel R_L$ ，只保留輸出 $C_L$ 。由 KCL

\left(\frac1R+sC_L\right)v_o=-g_mv_i \quad\Rightarrow\quad a_v(s)=\frac{-g_mR}{1+sRC_L}.

因此

A_0=g_mR,\quad \omega_p=\frac1{RC_L},\quad BW=\frac1{2\pi RC_L}.

幅度與相對低頻的相位：

|a_v(j\omega)|=\frac{A_0}{\sqrt{1+(\omega/\omega_p)^2}}, \qquad \Delta\phi=-\tan^{-1}(\omega/\omega_p).

在 $\omega_p$ 幅度下降 $20\log_{10}(1/\sqrt2)=-3.0103$ dB，相對相位為 $-45^\circ$ 。高頻幅度正比 $1/\omega$ ，所以每十倍頻下降 20 dB。

由定義相乘可精確消去 $R$ ：

GBW\equiv A_0BW=\frac{g_m}{2\pi C_L}.

但單位增益交越頻率另由 $|a_v|=1$ 解得

f_u=BW\sqrt{A_0^2-1}=GBW\sqrt{1-A_0^{-2}}\qquad(A_0>1).

所以圖上把 $f_u$ 標成 GBW，還用了 $A_0\gg1$ 。圖中的相位是相對相位；共源級的固定反相不可遺忘。

規格 $GBW=100$ MHz、 $C_L=3$ pF，故

g_m=2\pi(100\times10^6)(3\times10^{-12}) =1.88496\ {\rm mS}.

選擇而非推導出 $V_{OV}=0.2$ V，則

\frac{g_m}{I_D}=\frac2{V_{OV}}=10\ {\rm V}^{-1},\quad I_D=\frac{g_mV_{OV}}2=188.50\ \mu{\rm A}.

本書 $K'_n=50\ \mu{\rm A/V^2}$ ，沒有額外 $1/2$ ：

\frac WL=\frac{I_D}{K'_n V_{OV}^2}=94.248.

再選擇 $L=4L_{\min}=2\ \mu$ m，可得 $W=188.50\ \mu$ m。若按教材先把 $g_m$ 取整為 2 mS，就得到 $I_D=0.2$ mA、 $W/L=100$ 、 $W=200\ \mu$ m。這些是取整差異，不是模型不一致。

FOM=\frac{GBW\,C_L}{I_D} =1591.55\ {\rm MHz\cdot pF/mA} \simeq1500\quad\text{（採 0.2 mA 的取整電流）}.

訊號源經 $R_S$ 驅動 gate， $C_{GS}$ 接地，輸出沒有電容：

\frac{v_g-v_i}{R_S}+sC_{GS}v_g=0,\qquad v_o=-g_mr_o v_g.

a_v=\frac{-g_mr_o}{1+sR_SC_{GS}},\quad BW=\frac1{2\pi R_SC_{GS}},\quad GBW=\frac{g_m}{2\pi C_{GS}}\frac{r_o}{R_S}.

在此電容模型中定義 $f_T=g_m/(2\pi C_{GS})$ ，便是教材 $f_Tr_o/R_S$ 。若再採 $C_{GS}\simeq\alpha C_{ox}WL$ （長通道常用 $\alpha\simeq2/3$ ），則

GBW\simeq\frac{V_E}{\pi\alpha R_S C_{ox}W V_{OV}}.

所以圖上的 $1/(WC_{ox}V_{OV})$ 是省略固定係數的比例關係，不是量綱完整的等式。

步驟	原式 → 簡式	必要條件	失效時
單極點	完整寄生網路 → 一個 $C_L$ 或 $C_{GS}$	其他極點高於關注頻带	不能再從 $A_0BW$ 預測實際交越
交越	$\sqrt{A_0^2-1}\to A_0$	$A_0\gg1$	$A_0$ 接近 1 時誤差很大
電容尺度	$C_{GS}\to\alpha C_{ox}WL$	忽略 overlap、fringing，強反轉	短通道、小尺寸
設計電壓	指定 $V_{OV}=0.2$ V	教材的設計選擇，須另查製程	不能把這個選擇當規格唯一解

不用 SFG：兩個互不回授的一階關係直接相乘最清楚。數值檢查包括未取整及取整的 029 解，以及 GBW 與實際 $f_u$ 的差異。

投影片	PDF 頁	書本頁	講解所在 PDF 頁
027	53	54	53
028	53	54	53
029	54	55	54
0210	54	55	54

本推導組的代表模型已完成 Spectre 驗證；覆蓋範圍以所列 netlist 為準，未逐一搭建所有投影片電路。

線性 AC 1 · MOS 電路 1 · 極零 0 · 暫態 0：所列檢查全部通過。

案例：loaded_cs、mos_cs