電阻、電感與 MOS 源極退化

對應：0214–0216。這裡 $R_S$ 或 $L_S$ 位於 source 與地之間，不是 gate 前的訊號源電阻。

0214：先保留 $r_o$ 的低頻模型

設 source 電壓 $v_x$ 、退化阻抗 $Z_S$ ，且 bulk 跟 source 相連：

i_d=g_m(v_i-v_x)+g_o(v_o-v_x),\qquad v_x=Z_Si_d.

代回並收集：

i_d[1+(g_m+g_o)Z_S]=g_mv_i+g_ov_o.

因此短路輸出跨導與輸出電阻為

G_{mS}=\left.\frac{i_d}{v_i}\right|_{v_o=0} =\frac{g_m}{1+(g_m+g_o)Z_S},\qquad Z_{\rm out}=\left.\frac{v_o}{i_d}\right|_{v_i=0} =r_o+(1+g_mr_o)Z_S.

取 $Z_S=R_S$ 並依序近似：

G_{mR}\simeq\frac{g_m}{1+g_mR_S}\simeq\frac1{R_S}, \qquad R_{\rm out}\simeq r_o(1+g_mR_S)\simeq g_mr_oR_S.

低頻、輸出短路時 $v_x/v_i=g_mR_S/[1+(g_m+g_o)R_S]$ 。由 $i_g=sC_{GS}(v_i-v_x)$ ，得到一階輸入電容係數

C_{\rm in}=C_{GS}\frac{1+g_oR_S}{1+(g_m+g_o)R_S} \simeq\frac{C_{GS}}{1+g_mR_S}.

這不是任意輸出負載下通用的輸入電容。 $v_x/v_i$ 會隨 drain 終端改變。

忽略 $r_o$ 、 $C_{GD}$ ，但保留 $C_{GS}$ 。令 $v_{gs}=v_i-v_x$ ：

i_g=sC_{GS}v_{gs},\quad i_s=(g_m+sC_{GS})v_{gs},\quad v_x=sL_Si_s.

所以

Z_{\rm in}=\frac{v_{gs}+sL_S(g_m+sC_{GS})v_{gs}}{sC_{GS}v_{gs}} =\frac1{sC_{GS}}+sL_S+\frac{g_mL_S}{C_{GS}}.

定義 $\omega_T=g_m/C_{GS}$ ，電阻項為 $L_S\omega_T$ 。只有在 $\omega_0=1/\sqrt{L_SC_{GS}}$ 附近，容性與感性虛部相消，輸入才近似純電阻。

若在求跨導時省略 $C_{GS}$ ，上一節給

G_{mL}\simeq\frac{g_m}{1+sg_mL_S},\qquad Z_{\rm out}\simeq r_o(1+sg_mL_S).

若保留 $C_{GS}$ ，短路跨導則是

G_{mL}=\frac{g_m}{1+sg_mL_S+s^2L_SC_{GS}}.

因此教材的 $G_{mL}$ 與 $Z_{\rm in}$ 使用不同層級的電容保留方式，必須分清。

兩顆 NMOS 的 gate 同接 $v_i$ ；M1 source 接 M2 drain（節點 $x$ ），M2 source 接地。DC 幾何關係：

V_{DS2}=V_{GS2}-V_{GS1}.

M2 的 triode 近似：

I_2=KP\frac{W_2}{L_2} \left[(V_{GS2}-V_T)V_{DS2}-\frac{V_{DS2}^2}{2}\right].

分別微分：

g_{o2}=KP\frac{W_2}{L_2}(V_{GS2}-V_T-V_{DS2}),\quad g_{m2}=KP\frac{W_2}{L_2}V_{DS2}.

只有 $V_{DS2}\ll V_{GS2}-V_T$ 才有

r_{o2}\simeq[KP(W_2/L_2)(V_{GS2}-V_T)]^{-1},\qquad g_{m2}\ll g_{o2}.

兩管電流相等給出

(g_{m1}+g_{o1}+g_{o2})v_x =(g_{m1}-g_{m2})v_i+g_{o1}v_o.

因此

R_{\rm out}=r_{o1}+r_{o2}+g_{m1}r_{o1}r_{o2},

G_{m,\rm eff} =\frac{g_{m1}g_{o2}+g_{m2}(g_{m1}+g_{o1})} {g_{m1}+g_{o1}+g_{o2}}.

教材差異：輸入電容。 M2 source 接地，其 $C_{GS2}$ 沒有被 source 跟隨所自舉。只計兩個 $C_{GS}$ 時，

C_{\rm in}=C_{GS1}(1-H_x)+C_{GS2},\qquad H_x=\left.\frac{v_x}{v_i}\right|_{v_o=0}.

不能從此連線得到投影片的 $(C_{GS1}+C_{GS2})/(1+g_{m1}r_{o2})$ 。若另計 M2 的 $C_{GD2}$ ，它應與 $C_{GS1}$ 一樣乘 $1-H_x$ 。